1. Рефлексивность:
2. Слабая рефлексивность:
3. Сильная рефлексивность:
4. Антирефлексивность:
5. Слабая антирефлексивность:
6. Сильная антирефлексивность:
7. Симметричность:
8. Антисимметричность:
9. Асимметричность:
10. Сильная линейность:
11. Слабая линейность:
12. Транзитивность:
Рефлексивность, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений, выражающее выполнимость их для пар объектов с совпадающими членами (так сказать, между объектом и его "зеркальным отражением"): отношение R называется рефлексивным, если для любого объекта х из области его определения выполняется xRx. Типичные и наиболее важные примеры рефлексивных отношений: отношения типа равенства (тождества, эквивалентности, подобия и т.п.: любой предмет равен самому себе) и отношения нестрогого порядка (любой предмет не меньше и не больше самого себя). Интуитивные представления о "равенстве" (эквивалентности, подобии и т.п.), очевидным образом наделяющие его свойствами симметричности и транзитивности, "вынуждают" и свойство Р., поскольку последнее свойство следует из первых двух. Поэтому многие употребительные в математике отношения, по определению Р. не обладающие, оказывается естественным доопределить таким образом, чтобы они становились рефлексивными, например, считать, что каждая прямая или плоскость параллельна самой себе, и т.п.
Глава 1. Элементы теории множеств
1.1 Множества
Наиболее простая структура данных, используемая в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет собой множество . Понятие множества является неопределяемым понятием. Множество не обладает внутренней структурой. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности.
Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это, в частности, означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов).
Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами. Если элемент
принадлежит множеству , то это обозначается:Если каждый элемент множества
является также и элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества :Подмножество
множества называется собственным подмножеством , еслиИспользуя понятие множества можно построить более сложные и содержательные объекты.
1.2 Операции над множествами
Основными операциями над множествами являются объединение , пересечение и разность .
Определение 1 . Объединением
Определение 2 . Пересечением двух множеств называется новое множество
Определение 3 . Разностью двух множеств называется новое множество
Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить
(Универсум ), то дополнением множества называют разность упорядоченную n-ку , называют мощностью отношения .Замечание. Понятие отношения является очень важным не только с математической точки зрения. Понятие отношения фактически лежит в основе всей реляционной теории баз данных. Как будет показано ниже, отношения являются математическим аналогом таблиц . Сам термин "реляционное представление данных", впервые введенный Коддом , происходит от термина relation , понимаемом именно в смысле этого определения.
Т. к. любое множество можно рассматривать как декартовое произведение степени 1, то любое подмножество, как и любое множество, можно считать отношением степени 1. Это не очень интересный пример, свидетельствующий лишь о том, что термины "отношение степени 1" и "подмножество" являются синонимами. Нетривиальность понятия отношения проявляется, когда степень отношения больше 1. Ключевыми здесь являются два момента:
Во-первых , все элементы отношения есть однотипные кортежи. Однотипность кортежей позволяет считать их аналогами строк в простой таблице, т.е. в такой таблице, в которой все строки состоят из одинакового числа ячеек и в соответствующих ячейках содержатся одинаковые типы данных. Например, отношение, состоящее из трех следующих кортежей { (1, "Иванов", 1000), (2, "Петров", 2000), (3, "Сидоров", 3000) } можно считать таблицей, содержащей данные о сотрудниках и их зарплатах. Такая таблица будет иметь три строки и три колонки, причем в каждой колонке содержатся данные одного типа.
В противоположность этому рассмотрим множество { (1), (1,2), (1, 2,3) }, состоящее из разнотипных числовых кортежей. Это множество не является отношением ни в
, ни в , ни в . Из кортежей, входящих в это множество нельзя составить простую таблицу. Правда, можно считать это множество отношением степени 1 на множестве всех возможных числовых кортежей всех возможных степенейОчевидно, что произвольные бинарные отношения изучать в общем плане не особенно интересно, о них можно сказать очень мало. Однако, если отношения удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, относительно них можно делать более содержательные утверждения. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из основных свойств бинарных отношений.
- 1. Бинарное отношение на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента aX выполняется условие a:
- (aX) a* a.
Если отношение представлено с помощью графа, то рефлексивность этого отношения означает, что в каждой вершине графа обязательно имеется петля.
Для отношения, заданного с помощью булевой матрицы его рефлексивность равносильна тому, что по главной диагонали этой матрицы (идущей из ее левого верхнего угла в правый нижний) стоят только символы 1.
2. Бинарное отношение на X называется антирефлексивным, если ни для одного aX не выполняется условие a * a:
Обозначим через I x отношение на множестве X, состоящее из пар вида (a, a), где a X:
I x = {(a, a)| a X}.
Отношение Ix обычно называют диагональю множества X или отношением тождества на X.
Очевидно, что отношение на множестве X рефлексивно, если диагональ I x является подмножеством множества:
Отношение антирефлексивно, если диагональ I x и отношение б не имеют ни одного общего элемента:
- 3. Бинарное отношение на множестве X называется симметричным, если из a * b следует b * a:
- (a, bX)(a* b b*a).
Примерами симметричных отношений являются:
отношение перпендикулярности на множестве прямых;
отношение касания на множестве окружностей;
отношение "быть похожим" на множестве людей;
отношение "иметь одинаковый пол" на множестве животных.
Отношение "x брат y" на множестве всех людей не является симметричным. В то же время отношение "x брат y" на множестве мужчин симметричным является.
В графе симметричного отношения для каждой дуги из вершины x в вершину y имеется дуга из y в x. Поэтому симметричные отношения можно представлять графами с неориентированными ребрами. При этом каждая пара ориентированных ребер xy и yx заменяется одним неориентированным ребром.
На рисунке 8 представлено отношение
б= {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c)}
с помощью ориентированного и неориентированного графов.
Рис. 8.
Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.
Теорема: Объединение и пересечение любого семейства симметричных отношений снова являются симметричными отношениями.
Определение. Бинарное отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых различных элементов a и b условия a * b и b * a не выполняются одновременно:
(a, bX) (a * b & b* a a = b).
Например, отношение "делится" на множестве натуральных чисел является антисимметричным, так как из a b и b a следует, что a = b. Однако на множестве целых чисел отношение "делится" антисимметричным не является, так как (-2) 2 и 2 (-2), но -22.
Отношения "выше", "тяжелее", "старше" антисимметричны на множестве людей. Отношение "быть сестрой" на множестве всех людей антисимметричным не является.
В графе антисимметричного отношения две различные вершины могут быть соединены не более чем одной дугой.
Определение 3.5. Бинарное отношение a на множестве X называется транзитивным, если для любых трех элементов a, b, c X из a*b и b*c следует a*c:
(a, b, c X) (a* b & b* c a*c).
Примерами транзитивных отношений служат:
отношение "делится" на множестве действительных чисел;
отношение "больше" на множестве действительных чисел;
отношение "старше" на множестве людей игрушек;
отношение "иметь одинаковый цвет" на множестве детских игрушек;
д) отношение "быть потомком" на множестве людей.
Феодальное отношение "быть вассалом" не является транзитивным. Это в частности подчеркивается в некоторых учебниках истории: "вассал моего вассала не мой вассал".
Отношение "быть похожим" на множестве людей не обладает свойством транзитивности.
Для произвольного отношения можно найти минимальное транзитивное отношение такое, что аb. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения.
Пример 3.1. Транзитивным замыканием бинарного отношения на множестве людей "быть ребенком" является отношение "быть потомком".
Справедлива теорема.
Теорема 3.2. Для любого отношения транзитивное замыкание равно пересечению всех транзитивных отношений, включающих в качестве подмножества.
Определение 3.6. Бинарное отношение на множестве X называется связным, если для любых двух различных элементов a и b имеет место a*b, либо b*a:
(a, b, c X)(ab a*b b*a).
Примером связного отношения является отношение "больше" на множестве действительных чисел. Отношение "делится" на множестве целых чисел связным не является.
4. Инвариантность отношений
В этом параграфе мы перечислим некоторые случаи, когда те или иные свойства отношений сохраняются при выполнении над ними операций .
Теорема 4.4. Чтобы произведение симметричных отношений было симметрично, необходимо и достаточно, чтобы отношения и коммутировали.
Отношение эквивалентности
Важным видом бинарного отношения является отношение эквивалентности.
Определение 1. Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности на X, если рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение эквивалентности часто обозначают символами ~,.
Примерами отношения эквивалентности служат:
отношение тождества I X = {(a, a)|aX} на непустом множестве X;
отношение параллельности на множестве прямых плоскости;
отношение подобия на множестве фигур плоскости;
отношение равносильности на множестве уравнений;
отношение "иметь одинаковые остатки при делении на фиксированное натуральное число m" на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают ab (mod m);
отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных;
отношение "быть родственниками" на множестве людей;
отношение "быть одного роста" на множестве людей;
отношение "жить в одном доме" на множестве людей.
Отношения "жить на одной улице", "быть похожими" на множестве людей отношениями эквивалентности не являются, так как не обладают свойством транзитивности.
Из перечисленных выше свойств бинарных отношений следует, что пересечение отношений эквивалентности является отношением эквивалентности.
Классы эквивалентности
С отношением эквивалентности тесно связано разбиение множества на классы.
Определение 1. Система непустых подмножеств
{M 1 , M 2 , …}
множества M называется разбиением этого множества, если
Сами множества M 1 , M 2 , … называются при этом классами данного разбиения.
Примерами разбиений служат:
разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.;
разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные);
разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние);
разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников;
разбиение множества всех учащихся данной школы по классам.
Широкое применение отношений эквивалентности в современной науке связано с тем, что всякое отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы, обычно принимаемые за новые объекты. Другими словами с помощью отношений эквивалентности порождаются новые объекты, понятия.
Так, например, отношение сонаправленности лучей разбивает множество всех лучей плоскости или пространства на классы сонаправленных лучей. Каждый из этих классов лучей называется направлением. Таким образом, интуитивное понятие направления получает точное математическое описание как класс разбиения множества лучей с помощью отношения эквивалентности.
О подобных фигурах обычно говорят, что они имеют одинаковую форму. Но что такое форма геометрической фигуры? Интуитивно ясно, что это то общее, что объединяет подобные фигуры. С помощью отношения эквивалентности удается это интуитивное понятие перевести в точное математическое. Отношение подобия, являясь отношением эквивалентности, разбивает множество фигур на классы подобных фигур. Каждый такой класс можно назвать формой. Тогда выражение "две одинаковые фигуры имеют одинаковую форму" имеет следующий точный смысл "две подобные фигуры принадлежат одной форме".
Отношения эквивалентности встречаются всюду, где осуществляются разбиения множеств на классы. Мы часто пользуемся ими, не замечая этого.
Приведем элементарный пример. Когда дети играют со множеством разноцветных игрушек (например, с блоками Дьенеша) и решают задачу разложить игрушки по цветам, то они пользуются отношением "иметь один цвет". Полученные в результате классы одноцветных фигур воспринимаются детьми как новые понятия: красные, желтые, синие и т. д.
Аналогично в результате решения задачи разложения блоков по форме дети получают классы, каждый из которых воспринимается как форма: прямоугольные, круглые, треугольные и т. д.
Связи между отношениями эквивалентности, определенными на множестве M, и разбиениями множества M на классы описываются в следующих двух теоремах.
Теорема 1 Всякое разбиение непустого множества M на классы определяет (индуцирует) на этом множестве отношение эквивалентности такое, что:
всякие два элемента одного класса находятся в отношении;
всякие два элемента различных классов не находятся в отношении. Доказательство. Пусть имеется некоторое разбиение непустого множества M. Определим бинарное отношение следующим образом: xay(K)(xK&yK).
То есть два элемента x и y aиз множества M связаны отношением в том и только в том случае, если в разбиении найдется такой класс K, которому одновременно принадлежат элементы x и y.
Так определенное отношение, очевидно, рефлексивно и симметрично. Докажем транзитивность отношения. Пусть x*y и x*z. Тогда по определению в существуют классы K 1 и K 2 такие, что x, yK 1 и y, zK 2 . Так как различные классы в разбиении не имеют общих элементов, то K 1 = K 2 , то есть x, z K 1 . Поэтому x*z, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Всякое отношение эквивалентности в непустом множестве M порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что всякие два элемента одного класса находятся в отношении;
всякие два элемента различных классов не находятся в отношении.
Доказательство. Пусть б - некоторое отношение эквивалентности на множестве M. Каждому элементу x из поставим в соответствие подмножество [x] множества M, состоящее из всех элементов y, находящихся в отношении с элементом x:
Система подмножеств [x], образует разбиение множества M. Действительно, во-первых, каждое подмножество [x]O, так как в силу рефлексивности отношения x[x].
Во-вторых, два различных подмножества [x] и [y] не имеют общих элементов. Рассуждая от противного, допустим существование элемента z такого, что z[x] и z[y]. Тогда zax и zay. Поэтому для любого элемента a[x] из a* x, z*x и z*y в силу симметричности и транзитивности отношения вытекает a*y, то есть a[y]. Следовательно, [x] [y]. Аналогично получаем, что [y][x]. Полученные два включения влекут равенство [x] = [y], противоречащее предположению о несовпадении подмножеств [x] и [y]. Таким образом, [x]y] = O.
В-третьих, объединение всех подмножеств [x] совпадает со множеством M, ибо для любого элемента xM выполняется условие x[x].
Итак, система подмножеств [x], образует разбиение множества M. Несложно показать, что построенное разбиение удовлетворяет условиям теоремы. Разбиение множества M, обладающее свойствами, указанными в теореме, называется фактор-множеством множества M по отношению и обозначается M/б.
Лекция 3.
п.3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.
3.1. Бинарные отношения .
Когда говорят о родстве двух людей, например, Сергей и Анна, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Сергей, Анна) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Сергеем и Анной есть некое родство (кузина, отец и т. д.).
В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A ´B ) тоже выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S ´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s , k ), обладающих свойством: студент s слушает курс k . Построенное подмножество отражает отношение «… слушает …», естественно возникающее между множествами студентов и курсов.
Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств введем понятие бинарного отношения.
Определение 3.1. Бинарным (или двухместным ) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A ´B , т. е.
В частности, если A= B (то есть rÍA 2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.
Элементы a и b называются компонентами (или координатами ) отношения r.
Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит : r, t, j, s, w и т. д.
Определение 3.2. Областью определения D r={a | $ b , что a rb } (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество R r={b | $ a , что a rb } (правая часть).
Пример 3. 1. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7} и B ={2; 4; 6}. Отношение зададим следующим образом t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}. Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере D t={3; 5; 7} и R t= B ={2; 4; 6}.
Пример 3. 2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x ; y ) | x и y – действительные числа и x равно y }. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, D r= R r.
Пример 3. 3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x ; y )ÎA ´B | y – цена x } – отношение множеств A и B .
Если обратить внимание на пример 3.1., то можно заметить, что данное отношение было задано сначала в виде t={(x ; y )ÎA ´B | x+ y =9}, а потом записано в виде t={(3; 6), (5;4), (7;2)}. Это говорит о том, что отношения на множествах (или одном множестве) можно задавать различными способами. Рассмотрим способы задания бинарных отношений.
Способы задания отношений:
1) с помощью подходящего предиката;
2) множество упорядоченных пар;
3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними. Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости. Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом , точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа .
4) в виде матрицы: пусть A ={a 1, a 2, …, an } и B ={b 1, b 2, …, bm }, r – отношение на A ´B . Матричным представлением r называется матрица M =[mij ] размера n ´m , определенная соотношениями
.
Кстати, матричное представление является представлением отношения в компьютере.
Пример 3. 4. Пусть даны два множества A ={1; 3; 5; 7}и B ={2; 4; 6}. Отношение задано следующим образом t={(x ; y ) | x+ y =9}. Задать данное отношение как множество упорядоченных пар, орграфом, в виде матрицы.
Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;
2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.
https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" height="117">. ,
Пример 3. 5 . Еще в качестве примера можно рассмотреть предложенную Дж. фон Нейманом (1903 – 1957) блок-схему ЭВМ последовательного действия, которая состоит из множества устройств M :
,
где a – устройство ввода, b – арифметическое устройство (процессор), c – устройство управления, d – запоминающее устройство, e – устройство вывода.
Рассмотрим информационный обмен между устройствами mi и mj , которые находятся в отношении r, если из устройства mi поступает информация в устройство mj .
Это бинарное отношение можно задать перечислением всех его 14 упорядоченных пар элементов:
Соответствующий орграф, задающий это бинарное отношение, представлен на рисунке:
Матричное представление этого бинарного отношения имеет вид:
. ,
Для бинарных отношений обычным образом определены теоретико-множественные операции: объединение, пересечение и т. д.
Введем обобщенное понятие отношения.
Определение 3.3. n-местное (n -арное ) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей )
rÍA 1´…´An ={(a 1, …, an )| a 1ÎA 1Ù … Ùan ÎAn }
Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц . Такое задание соответствует перечислению множества n -к отношения r. Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных . Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.
Слово «реляционная » происходит от латинского слова relation , которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).
Определение 3.4. Пусть rÍA ´B есть отношение на A ´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A ´B , которое определяется следующим образом:
r-1={(b , a ) | (a , b )Îr}.
Определение 3.5. Пусть r ÍA ´B есть отношение на A ´B, а s ÍB ´C – отношение на B ´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA ´C ,которое определяется следующим образом:
t=s◦r= {(a , c )| $ b Î B, что (a , b )Îr и (b , c )Îs}.
Пример 3. 6 . Пусть , и C ={, !, d, à}. И пусть отношение r на A ´B и отношение s на B ´C заданы в виде:
r={(1, x ), (1, y ), (3, x )};
s={(x ,), (x , !), (y , d), (y , à)}.
Найти r-1 и s◦r, r◦s.
Решение. 1) По определению r-1={(x , 1), (y , 1), (x , 3)};
2) Используя определение композиции двух отношений, получаем
s◦r={(1,), (1, !), (1, d), (1, à), (3,), (3, !)},
поскольку из (1, x )Îr и (x ,)Îs следует (1,)Îs◦r;
из (1, x )Îr и (x , !)Îs следует (1, !)Îs◦r;
из (1, y )Îr и (y , d)Îs следует (1, d)Îs◦r;
из (3, x )Îr и (x , !)Îs следует (3, !)Îs◦r.
Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
2) 
;
3) 
- ассоциативность композиции.
Доказательство. Свойство 1 очевидно.
Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов. Пусть (a ; b ) Î (s◦r)-1 Û (b ; a ) Î s◦r Û $ c такое, что (b ; c ) Î r и (c ; a ) Î s Û $ c такое, что (c ; b ) Î r-1 и (a ; c ) Î s-1 Û (a ; b ) Î r -1◦s -1.
Свойство 3 доказать самостоятельно.
3.2. Свойства бинарных отношений .
Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A .
Свойства бинарных отношений.
1. Отношение r на A ´A называется рефлексивным , если (a ,a ) принадлежит r для всех a из A .
2. Отношение r называется антирефлексивным , если из (a ,b )Îr следует a ¹b .
3. Отношение r симметрично , если для a и b , принадлежащих A , из (a ,b )Îr следует, что (b ,a )Îr.
4. Отношение r называется антисимметричным , если для a и b из A , из принадлежности (a ,b ) и (b ,a ) отношению r следует, что a =b .
5. Отношение r транзитивно , если для a , b и c из A из того, что (a ,b )Îr и (b ,c )Îr, следует, что (a ,c )Îr.
Пример 3. 7. Пусть A ={1; 2; 3; 4; 5; 6}. На этом множестве задано отношение rÍA 2, которое имеет вид: r={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2), (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2)}. Какими свойствами обладает данное отношение?
Решение. 1) Это отношение рефлексивно, так как для каждого a ÎA , (a ; a )Îr.
2) Отношение не является антирефлексивным, так как не выполняется условие этого свойства. Например, (2, 2)Îr, но отсюда не следует, что 2¹2.
3) Рассмотрим все возможные случаи, показав, что отношение r является симметричным:
(a , b )Îr | (b , a ) | (b , a )Îr? |
|
4) Данное отношение не является антисимметричным, поскольку (1, 2)Îr и (2,1)Îr, но отсюда не следует, что 1=2.
5) Можно показать, что отношение r транзитивно, используя метод прямого перебора.
(a , b )Îr | (b , c )Îr | (a , c ) | (a , c )Îr? |
|
Как по матрице представления
определить свойства бинарного отношения
1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.
.
2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.
3. Симметричность: если .
4. Антисимметричность: все элементы вне главной диагонали равны нулю; на главной диагонали тоже могут быть нули.
.
Операция «*» выполняется по следующему правилу: 
, где , .
5. Транзитивность: если . Операция «◦» выполняется по обычному правилу умножения, при этом надо учитывать: .
3.3 Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.
Отношение эквивалентности является формализацией такой ситуации, когда говорят о сходстве (одинаковости) двух элементов множества.
Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивалентности a rb часто обозначается: a ~ b .
Пример 3. 8 . Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.
Пример 3. 9 . Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X .
Пример 3. 1 0 . Пусть ¢ - множество целых чисел. Назовем два числа x и y из ¢ сравнимыми по модулю m (m Î¥) и запишем , если равны остатки этих чисел от деления их на m , т. е. разность (x -y ) делится на m .
Отношение «сравнимых по модулю m целых чисел» есть отношение эквивалентности на множестве целых числе ¢. В самом деле:
это отношение рефлексивно, т. к. для "x ΢ имеем x -x =0, и, следовательно, оно делится на m ;
это отношение симметрично, т. к. если (x -y ) делится на m , то и (y -x ) тоже делится на m ;
это отношение транзитивно, т. к. если (x
-y
) делится на m
, то для некоторого целого t
1 имеем https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" height="24 src=">, отсюда 
, т. е. (x
-z
) делится на m
.
Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.
Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство. Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.
Пример 3. 11 . Отношение x £y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка. ,
Пример 3. 1 2 . Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение A ÍB есть отношение частичного порядка.
Пример 3. 1 3 . Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.
Прообразом отношения частичного порядка является интуитивное понятие отношения предпочтения (предшествования). Отношение предпочтения выделяет класс задач, которые можно объединить, как задача о проблеме выбора наилучшего объекта .
Формулировка задачи: пусть имеется совокупность объектов A и требуется сравнить их по предпочтительности, т. е. задать отношение предпочтения на множестве A и определить наилучшие объекты.
Отношение предпочтения P , которое можно определить как «aPb , a , b ÎA Û объект a не менее предпочтителен, чем объект b » является по смыслу рефлексивным и антисимметричным (каждый объект не хуже самого себя, и, если объект a не хуже b и b не хуже a , то они одинаковы по предпочтительности). Естественно считать, что отношение P транзитивно (хотя в случае, когда, например, предпочтения обсуждаются группой лиц с противоположными интересами, это свойство может быть нарушено), т. е. P – отношение частичного порядка.
Один из возможных способов решения задачи сравнения объектов по предпочтительности – ранжирование , т. е. упорядочение объектов в соответствии с убыванием их предпочтительности или равноценности. В результате ранжирования мы выделяем «наилучшие» или «наихудшие» с точки зрения отношения предпочтения объекты.
Области применения задачи о проблеме выбора наилучшего объекта: теория принятия решений, прикладная математика, техника, экономика, социология, психология.
Основы дискретной математики.
Понятие множества. Отношение между множествами.
Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.
Объекты, составляющие множество называются элементами множества. Для того чтобы некоторую совокупность объектов можно было называть множеством должны выполняться следующие условия:
· Должно существовать правило, по которому моно определить принадлежит ли элемент к данной совокупности.
· Должно существовать правило, по которому элементы можно отличить друг от друга.
Множества обозначаются заглавными буквами, а его элементы маленькими. Способы задания множеств:
· Перечисление элементов множества. - для конечных множеств.
· Указание характеристического свойства 
.
Пустым множеством – называется множество, не содержащее ни одного элемента (Ø).
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. , A=B
Множество B называется подмножеством множества А ( , тогда и только тогда когда все элементы множества B принадлежат множеству A .
Например: , B =>
Свойство:
Примечание: обычно рассматривают подмножество одного и того е множества, которое называется универсальным (u). Универсальное множество содержит все элементы.
Операции над множествами.
| A |
| B |
2.Пересечением 2-х множеств называется новое множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежат и первому и второму множеству.
Н-р: , ,
Свойство: операции объединения и пересечения.
· Коммутативность. 
· Ассоциативность. ;
· Дистрибутивный. ;
| U |
Бинарные отношения и их свойства.
Пусть А и В это множества производной природы, рассмотрим упорядоченную пару элементов (а, в) а ϵ А, в ϵ В можно рассматривать упорядоченные «энки».
(а 1 , а 2 , а 3 ,…а n) , где а 1 ϵ А 1 ; а 2 ϵ А 2 ; …; а n ϵ А n ;
Декартовым (прямым) произведением множеств А 1 , А 2 , …, А n , называется мн-во, которое состоит из упорядоченных n k вида .
Н-р: М = {1,2,3}
М× М= М 2 = {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.
Подмножества декартова произведения 
называется отношением степени n
или энарным отношением. Если n
=2, то рассматривают бинарные
отношения. При чем говорят, что а 1 , а 2
находятся в бинарном отношении R
, когда а 1 R а 2.
Бинарным отношением на множестве M называется подмножество прямого произведения множества n самого на себя.
М× М= М 2 = {(a, b )| a, b ϵ M } в предыдущем примере отношение меньше на множестве М порождает следующее множество: {(1,2);(1,3); (2,3)}
Бинарные отношения обладают различными свойствами в том числе:
· Рефлексивность: 
.
· Антирефлексивность (иррефлексивность): .
· Симметричность: .
· Антисимметричность: .
· Транзитивность: .
· Асимметричность: .
Виды отношений.
· Отношение эквивалентности;
· Отношение порядка.
v Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.
v Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.
v Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.
v Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.
Бинарным отношением Т(М) на множестве М называется подмножество М 2 = М х М, Т(М) с М 2 . Формальная запись бинарного отношения выглядит шкТ(М) = {(х, у) / (х, у) е Т с М х М}. Обратите внимание: далее мы будем рассматривать только не пустые множества Ми заданные на них непустые бинарные отношения Т(М)
Понятие «бинарное отношение» является более общим понятием, чем функция. Каждая функция представляет собой бинарное отношение, но не каждое бинарное отношение есть функция.
Например, множество пар Р = {(а, Ь), (а, с), (а, б)} является бинарным отношением на множестве {а, Ъ, с, (1), но функцией не является. И наоборот, функция Р= {(а, Ь),(Ь, с), (с1, а)} является бинарным отношением, заданным на множестве {а, Ь, с, с!}.
Мы уже сталкивались с понятием отношения при рассмотрении с (включение) и = (равенство) между множествами. Также неоднократно вами использовались отношения =, Ф, , заданные на множестве чисел - как натуральных, так и целых, рациональных, вещественных и т.д.
Определим несколько понятий относительно бинарного отношения, заданного на множестве М[ 2, 11].
Обратное отношение
Я-"= {(х, у) / (у, х) € Я). (1.14)
Дополнительное отношение
Л = {(*, У) / (х, у) й /?}. (1.15)
Тождественное отношение
и = {(х, х) / X Е М). (1.16)
Универсальное отношение
I ={(х,у)/хеМ,уеМ}. (1.17)
Рассмотрим несколько задач.
Задача 1.8
На множестве М= {а, Ь, с, с1 , е} задано бинарное отношение Т(М ) = = {{а, а ), (а , Ь ), (Ь , с), (с, ?/), (^/, б), {б, е)}. Построить отношения : обратное к Т , дополнительное к Т, тождественное бинарное отношение и и универсальное бинарное отношение /.
Решение.
Для решения этих задач нам нужны только определения.
По определению на множестве М= {а , Ь , с, б, е} обратное к ДЛ/) бинарное отношение должно содержать все обратные пары тождественное бинарное отношение Т~ = {(а , а ), (/?, я), (с, 6), (б, с), (^/, ?/), (с, б)}.
По определению на множестве М= {а, Ь, с , б, е} дополнительное к Т(М ) бинарное отношение должно содержать все пары из декартова произведения М 2 , которые не принадлежат Т(М), т.е. {(а , с), {а, Л), (а, е), (Ь, а), (Ь, Ь), (Ь, б), (Ь, е), (с, а), (с, Ь), (с, с), (с, е), {б, а), (б, Ь), (б, с), (е, а), (е, Ь), (е, с), (е, б), (е, е)}.
По определению на множестве М = {а, Ь, с, б , е} тождественное бинарное отношение и = {(а, а ), (Ь , /?), (с, с), (^/, ^/), (е, е)}.
По определению на множестве М = {а , 6, с, б, е} универсальное бинарное отношение содержит все пары из декартова произведения М 2 , т.е. / = {(а, а), (а , А), (о, с), (а,), (я, е), (Ь, а), (Ь, Ь), (Ь, с), (Ь, б), (Ь, е), (с, а), (с, Л), (с, с), (с, йО, (с, е), (б, а), (б , А), (, с), (,), (^,
Задача 1.9
На множестве М натуральных чисел от 1 до 5 построить бинарное отношение R = {(а , d) / mod(? r , Z>) = 0}, где mod - остаток от деления а на Ь.
Решение.
В соответствии с заданием на множестве натуральных чисел М строим такие пары (а , Ь), где а делится на b без остатка, т.е. mod(?, Ъ ) = = 0. Получаем R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (4, 2)}.
Существует несколько основных способов задания бинарных отношений: перечисление, графическое представление, матричное представление.
Бинарные отношения R можно задать в виде перечисления, как любое множество пар.
При графическом представлении каждый элемент х и у множества М представляется вершиной, а пара (х, у) представляется дугой изх в у.
Матричным способом бинарные отношения задаются с помощью матрицы смежности. Такой способ наиболее удобен при решении задач с помощью компьютера.
Матрица смежности S представляет собой квадратную матрицу тх/й, где т - мощность множества М, и каждый ее элемент 5(х, у) равен единице, если пара (х, у) принадлежит Т(М), и равен нулю в противном случае.
На рис. 1.3 представлено графическое и матричное представление для Т(М) = {(а , а), (а, Ъ), (b , с), (с, d), (d , d), (d, e)}.
Определяя свойства бинарных отношений, обычно выделяют рефлексивность, симметричность и транзитивность.
Бинарное отношение Т(М) называется рефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого элемента х е М пара (х, х) принадлежит этому бинарному отношению Т(М), т.е. Vx е М, 3(х, х) е Т(М).
Рис. 1.3. Графическое (а) и матричное (б) представление множества
Классическим определением этого свойства является следующее утверждение: из того, что элемент х принадлежит множеству М, следует, что пара (х, х) принадлежит бинарному отношению Т(М), заданному на этом множестве, т.е. /хєМ-) (х, х) є Т(М).
Прямо противоположное свойство бинарных отношений называется иррефлексивностью. Бинарное отношение Т(М) называется иррефлексивным тогда и только тогда, когда для каждого элемента х из множества М пара (х, х) не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. /х є М -> (х, х) ё Т(М).
Если бинарное отношение Т(М) не обладает ни свойством рефлексивности, ни свойством иррефлексивности, то оно является нерефлексивным.
Например, для множества М - {а, Ь, с , ^/, е} бинарное отношение Т Х (М) = {(а , а), (а, Ь), (Ь, Ь), (Ь, с), (с, с), (с, сі), (сі, сі), (сі , с), (е, е )} является рефлексивным, Т 2 (М) = {(а , Ь), (Ь , с), (с, сі), (сі, с), (сі, е )} является иррефлексивным, а Т 3 (М) = {(а , а ), (а, Ь), (Ь , с), (с, сі), (сі , ?/), (?/, с)} является нерефлексивным.
Если во множестве М содержится хотя бы один элемент х, то правильная классификация не представляет сложности. Обратите внимание: для однозначности решения задачи классификации свойство рефлексивности следует определять только для непустых множеств!
В соответствии с этим бинарное отношение на пустом множестве является нерефлексивным, так же как нерефлексивным будет пустое бинарное отношение.
Бинарное отношение Т(М) называется симметричным тогда и только тогда, когда для каждой пары различных элементов (х, у), принадлежащей бинарному отношению Т(М), обратная пара (у, х) также принадлежит этому бинарному отношению, т.е. /(х, у) є Т(М), 3(у, х) є Т(М). Свойство симметричности мы определяем только для множеств, содержащих хотя бы два различных элемента, и непустых бинарных отношений.
Классическим определением свойства симметричности является следующее утверждение: из того, что пара (х, у) принадлежит Т(М), следует, что обратная пара (у, х) также принадлежит Т(М), т.е. /(х, у) є Т(М) -> (у, х) є Т(М). В этом случае еслих = у, то свойство симметричности плавно переходит в рефлексивность.
Прямо противоположное свойство бинарных отношений называется антисимметричностью. Бинарное отношение Т(М) называется антисимметричным тогда и только тогда, когда для каждой пары различных элементов х и у пара (у, х) не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. /(х, у) є Т(М), (у, х) і Т(М).
Классическим определением антисимметричности можно считать следующее . Из того, что в антисимметричном бинарном отношении Т(М) для любой пары (х, у) обратная пара (у, х) также принадлежит Т(М), следует, что х = у, т.е. ((х, у) е Т(М), (у , х) е Т(М )) -> -> х = у.
Если бинарное отношение Т(М ) не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности, то оно является несимметричным.
В случае когда Мили Т(М) пусты или М содержит единственный элемент х, наше бинарное отношение одновременно является как симметричным, так и антисимметричным. Для однозначности решения задачи классификации множество М должно содержать хотя бы два различных элемента х и у. Тогда бинарные отношения на пустом множестве, так же как на множествах с одним элементом, являются несимметричными.
М - {а, Ь, с, ^/, е}. Бинарное отношение Г, = {(а , а), (а, Ь ), (Ь , а ), (с, с1), (с /, с), (е , с), (с, е)} является симметричным, Т 2 = {(а, а), (а, Ь), (с, с1), (е , с), (с, Ь ), (Ь , е )} является антисимметричным, Т 3 = {(а, а ), (а , Ь ), (6, я), (с, с1), (е , с), (с, я)} - несимметричным. Обратите внимание: петля (а , я) никак не влияет на симметричность и антисимметричность.
Свойство транзитивности определяется на трех различных элементах х, у и I множества М. Бинарное отношение Т(М) называется транзитивным тогда и только тогда, когда для каждых двух пар различных элементов (х, у) и (у, О, принадлежащих бинарному отношению Т(М), пара (х, ?) также принадлежит этому бинарному отношению, т.е. (/(х, у) е Т(М), /(у, I) е Т(М)), 3(х, I) е Т(М). Таким образом, между элементами х и ^ существует транзитивное замыкание («транзит»), которое «спрямляет» путь длины два (х, у) и (у, z)?
Классическое определение свойства транзитивности формулируется следующим образом: из того, что в транзитивном бинарном отношении Т(М) существует пара (х, у) и пара (у, I), следует, что пара (х, I) также принадлежит этому бинарному отношению, т.е. ((х, у) е Т(М ), (у, I) е Т(М)) -э (х, I) е Т(М ).
Бинарное отношение Т(М) называется интранзитивным тогда и только тогда, когда для каждых двух пар элементов (х, у) и (у, ?), принадлежащих бинарному отношению Т(М), пара (х, не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. (/(х, у) е Т(М), /(у, I) е Т{М)), (х, I) ? Т(М). Таким образом, в интранзитивном бинарном отношении ни один имеющийся путь длины два не обладает транзитивным замыканием!
Классическое определение свойства интранзитивности формулируется следующим образом: из того, что в транзитивном бинарном отношении Т(М) существует пара (х, у) и пара (у, I), следует, что пара (х, I) не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. ((*, у) е Т(М), (у, I) е Т(М)) -э (х, I) ? Т(М).
Если бинарное отношение Т(М) не обладает ни свойством транзитивности, ни свойством интранзитивности, то оно является нетранзитивным.
Например, рассмотрим множество М - {а , Ь, с, б, е}. Бинарное отношение Т х = {(а , а), (а , Ь ), (а , с), (Ь , с), (с, с), (е , с)} является транзитивным, Т 2 = {(я, я), (я, 6), (6, с), (с, 1), (?, 0} является интранзитив-ным, Т 3 = {(а , я), (я, 6), (6, с), (^/, с), (я, с), (е , ?/)} - нетранзитивным.
Задача 1.10
На множестве М х - {а, Ь, с, б, е} построить бинарное отношение Я с заданными свойствами : нерефлексивности , антисимметричности и нетранзитивности.
Решение.
Правильных решений этой задачи целое множество! Построим одно из них. В нашем бинарном отношении на некоторых вершинах, но не на всех, должны быть петли; не должно быть ни одной обратной дуги; должны быть хотя бы два пути длины 2, из них хотя бы один не иметь транзитивного замыкания. Таким образом, получаем Я = {(а, а), (Ь , Ь ), (а , Ь ), (Ь , с), (с, б), (б, е), (а, с), (с, е)}.
Задача 1.11
Определить свойства бинарного отношения Т, заданного на множестве М 2 = {а, Ь, с, б, е}, представленного ранее на рис. 1.3.
Решение.
В данном бинарном отношении на двух вершинах есть петли, на трех петель нет, следовательно, бинарное отношении нерефлексивно. Нет ни одной обратной дуги, следовательно, бинарное отношение антисимметрично. Бинарное отношение обладает несколькими путями длины два, но ни один из них не обладает транзитивным замыканием - Т интранзитивно.
